• Biologie des chiffres ?


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    LE FONCTIONNEMENT OU BIOLOGIE DigitWise


    Ou


     mathématique HUMANISéE


    ET


    BIOTISÉE


    Ou


    LA MATHÉMATIQUE DU 3ème MILLÉN


    Ou


    UNE FORME ÉLÉMENTAIRE DE VIE DÉMONTRÉE AU NIVEAU DES CHIFFRES


    (LA VIE DIGITALE OU NUMÉRIQUE)


    ou


    CROISSANCE BIOLOGIQUE


    DES


    CARRÉS DES NOMBRES ISODIGITES


     


     


      


    Version 2.0


    jeudi, 21. septembre 2006(12:53:01 +0100)


     


    Ce texte va toujours croître 


     


     


     


     


     


     

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    TABLE DES MATIÈRES






    TABLE DES MATIÈRES


     


    fctchiffres.html


    fctchiffres2.html


    fctchiffres3.html


     






    LA CROISSANCE BIOLOGIQUE DES NOMBRES ILLUSTRÉE PAR LES LOIS DES CARRÉS DE NOMBRES ISO-DIGITES


    Des observations simples pour ne pas dire simplistes ouvrent parfois la voie à des révélations et/ou connaissances fort instructives qui ouvrent à leur tour de nouveaux horizons pouvant bouleverser tout l'avenir de l'humanité.


    L'élévation au carré des nombres [ainsi que toute opération arithmétique sur eux], en particulier les nombres isodigites (constitués avec un[e] seul[e figure de] digit dans l'ensemble du nombre), semble être un processus de reproduction, fusion et intégration de chiffres qui suit tout un cheminement logique et précis, et selon un mécanisme tout aussi précis, que jusqu'ici personne n'a jamais imaginé.


    Voici comment les choses se passent, avec les nombres isodigites à digit '7' ci-après :

    NOMBRES ISODIGITES À DIGIT 7 (D=7)

    Examinons le tableau suivant :


     




















































































    m = qtté de digits ds nb


    Nombre isodigite N, à élever au carré


    Carré du Nombre N


    1


    7^2


    4 9


    2


    77^2


    59 29


    3


    777^2


    603 729


    4


    7777^2


    6048 1729


    5


    7'7777^2


    60492 61729


    6


    77'7777^2


    604937 061729


    7


    777'7777^2


    6049381 5061729


    8


    7777'7777^2


    60493825 95061729


    9


    7'7777'7777^2


    604938270 395061729


    10


    77'7777'7777^2


    6049382714 8395061729


    11


    777'7777'7777^2


    60493827159 28395061729


    12


    7777'7777'7777^2


    604938271603 728395061729


    13


    7'777'777'777'777^2


    6049382716048 1728395061729


    14


    77'777'777'777'777^2


    60493827160492 61728395061729


    15


    777'777'777'777'777^2


    604938271604937 061728395061729


    16


    7'777'777'777'777'777^2


    6049382716049381 5061728395061729


    17


    77'777'777'777'777'777^2


      6,0493827160493825 95061728395061729e+33


    ...


     


     


    n


    nombre de digits supérieur à 17


    Trouvez vous-même le carré d'un nombre isodigit à digit 7, compotant un nombre n de digits supérieur à 17



    Première méthode :


     


    Règle générale :


    Pour un nombre m de digits dans le nombre isodigite à digit 7, le premier chiffre C du suffixe de m-1 digits SUF se duplique pour donner le nouveau suffixe 'CSUF'.


    L'un des deux doublons 'C' dans le nouveau suffixe se détache pour se fixer en suffixe au préfixe 'PREF' de m-1 pour donner le nouveau préfixe 'PREFC'.


     À ce niveau nous avons un total de m * 2 - 1 chiffres,


    - m chiffres en préfixe


    - m-1 chiffres en suffixe (en fait c'est aussi le suffixe dans m-1)


    Le deuxième doublon 'C' qui est resté en préfixe au suffixe se dédouble et l'un des doublons s'insère lui aussi en suffixe au préfixe en cours 'PREFC' pour donner le nouveau préfixe 'PREFCC'.


     À ce niveau nous avons un total de m * 2 chiffres,


    - m chiffres en préfixe


    - m chiffres en suffixe


    Il s'ajoute à ce nouveau préfixe (en respectant éventuellement le report) un des nombres (N) parmi les 100, 110, et 111 des Table-I / Table-II pour donner le nouveau préfixe 'PREFCC + N'. Le dernier chiffre ('C') de ce dernier préfixe (PREFCC + N) se détache alors pour se lier en préfixe au suffixe en cours 'CSUF' (en fait le suffixe du m précédent) pour donner un nouveau suffixe NSUFFIXE. À ce niveau nous avons toujours un total de m * 2 chiffres,


    - m chiffres en préfixe


    - m chiffres en suffixe


    Il s'ajoute finalement (en rejetant le report éventuel), la valeur '4' (sauf pour m=2 où on ajoute 3) au premier digit du suffixe en cours pour donner le suffixe ultime, et le tour est joué.


    Le nombre reconstitué «préfixe:suffixe» N^2 est le résultat de 777...^2 (D=7, pour un nombre nombre isodigite de taille mm de digits], à élever au carré).


    Pour m=1 (nombre à un seul digit, '7'), on ne peut pas extraire une loi précise universelle.


    Pour le tout début (m=1, N=7, D=7), on peut juste se contenter du résultat de 7^2 = 49, comme étant constitué de deux parties, un Préfixe représenté par '4', et un Suffixe représenté par '9'.


    Pour les autres valeurs de m (>1), on part toujours du résultat de la valeur m (nombre de digits dans le nombre) précédente (m-1). Jusque là (pour m=1) aussi bien le préfixe ('4) que le suffixe n'ont chacun qu'un seul chiffre (9).


    Le principe général est le suivant :



    • Le digit de l'extrême gauche (le premier chiffre) du suffixe se duplique et s'accole en suffixe au préfixe en cours. Par exemple pour m=2, partant du résultat pour m=1 (49, 4=préfixe et 9=suffixe), le premier (celui de l'extrême gauche) et unique chiffre du suffixe (ici '9') qui ne comporte jusque là qu'un seul chiffre, va se lier en suffixe au préfixe en cours ('4') pour donner le nouveau préfixe '49'.

    • Le processus se répète, le digit de l'extrême gauche du suffixe se duplique de nouveau et s'accole en suffixe au préfixe en cours. Pour m=2 on aura à ce niveau comme préfixe 499. Le suffixe est toujours 9.

    ·         Ensuite, selon la valeur de m (=nombre de digits dans le nombre), il s'ajoute au préfixe une des valeurs suivantes, en respectant le report :

    <o:p> </o:p>




















































    Table I. Valeurs d'ajout (A) en fonction du nombre (m) de digits dans le nombre isodigit à digit 7
    m
    ajout
    m
    ajout
    m
    ajout
    2
    100
    3
    111
    4
    110
    5
    111
    6
    110
    7
    111
    8
    100
    9
    110
    10
    111
    11
    110
    12
    111
    13
    110
    14
    111
    15
    110
    16
    111
    17
    100
     
     
     
     

    Les 4 valeurs d'ajout sont tous des nombres décimaux mais d'apparence binaire (100b=4d, 110b=6d, 111b=7d). Les valeurs d'ajout se répartissent comme suit selon la valeur de m.






















    Table II. Valeurs d'ajout (A) en fonction du nombre (m) de digits dans le nombre isodigit à digit 7
    Valeurs d'ajout (A)
    valeurs de m
    100
    2, 8 et 17
    101
    (8)
    110
    4, 6,   9, 11, 13 et 15
    111
    3, 5, (6),  7, 10, 12, 14 et 16
    Bien qu'on puisse de temps à autre trouver une certaine corrélation dans les progressions :

    Pour A=100, les trois valeurs de m sont espacées de 6 et de 17, les deux extrêmes l'étant de 15="max hexa".


    Pour A=101, seul m=8 (base octale) si on doit ajouter 3 au lieu de 4 au premier chiffre du suffixe (voir plus loin) ; si vous considérez la valeur d'ajout 101 en binaire, en ajoutant 2d=10b, on obtient MAXINT DIGIT octal ; en binaire 101b=5d.


    Pour A=110, les espacements sont respectivement de 5, 2, 2 et 2.


    Pour A=111 : hormis le 6 (si on additionne 3 au lieu de 4 au premier digit du suffixe) les espacements font un doublement dans un cycle de 3 (10/5, 12/6, 14/7), ou un décalage de 1 entre 5 et 7 et de 2 entre 10 et 16,... La valeur d'ajout s'alterne entre 110 et 111 entre m=9 et m=16. Si on considère le 6, alors il y a un doublement de 5 à 7 (10/5, 12/6, 14/7). Pour le 16, il aurait fallu que 8 soit dans cette série, mais cela entraînerait une perturbation à tous les niveaux, mais peut-être ouvrirait d'autres voies. Comme vous le voyez, 8 n'a pas de place A fixe (100, 101 où il est seul et 111, sauf le 110), il est perturbateur, et les chiffrologues (plutôt numérologues) le qualifient de chiffre impur, mais c'est celui sur lequel toutes les représentations dans l'ordinateur sont basées (octet).


    Difficile de tirer une loi de progression, chaque [groupe de ] valeur[s] de m a/ont sa/leur valeur d'ajout spécifique (c'est naturel non). Il est certain qu'il y a des lois bien établies qui régissent ces tables, un crac mathématicien, callé en trouverait sûrement très facilement une. Savez-vous que tout [dans] l'univers [y compris la vie] est régi par la mathématique? Quand dans les conditions bien précises 2H se combinent ave 1O ou 2O pour toujours donner H2O ou H2O2, n'est-ce pas de la [précision] mathématique ?



    • Pour m=2 il s'ajoute donc 100 à la valeur en cours du préfixe 499 pour donner 599.

    • Le dernier digit du préfixe se détache de ce dernier pour se fixer en préfixe au suffixe en cours. Pour m=2, le dernier 9 se détache du préfixe 599 pour s'accoler en préfixe au suffixe en cours (9) pour donner 59 en préfixe et 99 en suffixe.

    • Il s'ajoute ensuite au premier digit (celui de l'extrême gauche ou le plus significatif), selon la valeur de m et en rejetant le report éventuel, la valeur 3 (4 pour les valeurs de m <> 2). Le nouveau et ultime suffixe devient donc 29.

                77^2 = Préfixe:Suffixe = 59'29.


    Le tour est donc joué.


    Remarque : À la fin, aussi bien la partie gauche (préfixe) du résultat final que la partie droite (le suffixe), ont une longueur (taille ou nombre de chiffres) égale à la valeur de m équivalente au nombre de digits dans le nombre N de base.


     


    Concrètement,



    1. Pour m=1 (nombre isidigite à un seul chiffre/digit)
     

    Pour m = 1, 7^2 = 49 :


    4 = préfixe (aussi dernier chiffre du préfixe)


    9 = suffixe (aussi premier chiffre du suffixe)


     



    1. Pour m=2 (nombre isodigite à deux chiffres/digits)

    Pour m=1, 7^2=49. Le premier chiffre (et l'unique) '9' du suffixe '9' se dédouble et le doublon de gauche (pas celui de droite ?) s'attache en suffixe au préfixe en cours (celui de m=m-1, ici = 1), '4' pour former le nouveau préfixe '49'.


    L'autre doublon (9) resté attaché en préfixe à l'ancien suffixe 9 (celui de m=1) se dédouble de nouveau et l'un des nouveaux doublons s'attache en suffixe au préfixe en cours (49). Le suffixe en cours est toujours 9.


    On ajoute 100 au préfixe en cours (499) pour donner 599. Le dernier (le plus à droite=le moins significatif) digit (9) du préfixe en cours (499) s'en retire et migre à l'avant du suffixe en cours (9) pour donner 49 en préfixe et 99 en suffixe.


    On ajoute 3 au premier chiffre du suffixe en cours (99), en rejetant le report, cela donne 29 comme nouveau suffixe.


    Et le tour est joué. Nous avons donc 59 comme préfixe, et 29 comme suffixe.


    77^2 = 5929.


     



    1. Pour m=3 (nombre isodigite à trois chiffres/digits)

    Pour m=2, 77^2=5929. Le premier chiffre ('2') du suffixe '29' de m=2 se dédouble en 2 descendants pour donner le nouveau suffixe '229'.


    L'un des jumeaux ('2') se détache de ce dernier pour se lier en suffixe au préfixe '59' de m=2 pour donner le nouveau préfixe '592'. À ce niveau, nous avons un total de 5 chiffres,


    - 3 en suffixe ('592'),


    - 2 en préfixe ('29'), en fait le suffixe dans m-1=2.


    Le deuxième jumeau ('2') qui est toujours en préfixe eu suffixe en cours, se dédouble à son tour et l'un de ses néodoublons lui aussi s'insère en suffixe au préfixe en cours ('592') pour donner '5922'.


    Il s'ajoute alors (en respectant le report) '111' au préfixe en cours 5922, ce qui donne '6033' comme nouveau préfixe.


    Le dernier digit de ce nouveau préfixe ('3') se détache alors de ce dernier pour se fixer en préfixe au suffixe '29' pour donner le nouveau suffixe '329'. À ce niveau, nous avons un nombre à 6 chiffres :


    - 3 en préfixe ('603'),


    - 3 en suffixe ('329').


    Par la suite il s'ajoute 4 au premier digit du suffixe en cours, pour donner 729, et le tour est joué.


    Nous avons le résultat de 777^2 = '603'729' (D=7, m=3).


     



    1. Pour m=4 (nombre isodigite à quatre chiffres/digits)

    Pour m=3, 777^2=603'729. Le premier chiffre ('7') du suffixe '729' de m=3 se duplique pour donner le nouveau suffixe '7729'.


    L'un des deux doublons '7' dans le nouveau suffixe se détache pour se fixer en suffixe au préfixe '603' de m=3 pour donner le nouveau préfixe '6037'. À ce niveau nous avons un total de 7 chiffres,


    - 4 chiffres en préfixe ('6037')


    - 3 chiffres en suffixe ('729').


    Le deuxième doublon '7' qui est resté en préfixe au suffixe se dédouble et l'un des doublons s'insère lui aussi en suffixe au préfixe en cours '6037' pour donner le nouveau préfixe '60377'.


    Il s'ajoute '110' à ce nouveau préfixe pour donner le nouveau préfixe '60487'. Le dernier chiffre ('7') de ce dernier préfixe ('60487') se détache alors pour se lier en préfixe au suffixe en cours '729' pour donner le nouveau suffixe '7729'. À ce niveau nous avons un total de 8 chiffres,


    - 4 chiffres en préfixe ('6048')


    - 4 chiffres en suffixe ('7729').


    Il s'ajoute (en rejetant le report - voir plus haut) ensuite 4 au premier digit (7) du suffixe en cours pour donner 1729, et le tour est joué.


    Le nombre reconstitué «préfixe:suffixe» 6048'1729 est le résultat de 7777^2 (D=7, m=4).


     



    1. Pour m=5 (nombre isodigite à cinq chiffres/digits)

    Pour m=4, 7'777^2=6048'1729. Le premier chiffre ('1') du suffixe '1729' de m=4 se duplique pour donner le nouveau suffixe '11729'.


    L'un des deux doublons '1' dans le nouveau suffixe se détache pour se fixer en suffixe au préfixe '6048' de m=4 pour donner le nouveau préfixe '60481'. À ce niveau nous avons un total de 9 chiffres,


    - 5 chiffres en préfixe ('60481')


    - 4 chiffres en suffixe ('1729').


    Le deuxième doublon '1' qui est resté en préfixe au suffixe se dédouble et l'un de ses nouveaux doublons s'insère lui aussi en suffixe au préfixe en cours '60481' pour donner le nouveau préfixe '604811'.


    Il s'ajoute '111' à ce nouveau préfixe pour donner le nouveau préfixe '604922'. Le dernier chiffre ('2') de ce dernier préfixe ('604922') se détache alors pour se lier en préfixe au suffixe en cours '1729' pour donner le nouveau suffixe '21729'. À ce niveau nous avons un total de 10 chiffres,


    - 5 chiffres en préfixe ('60492')


    - 5 chiffres en suffixe ('21729').


    Il s'ajoute ensuite 4 au premier digit du suffixe en cours 21729 pour donner 61729, et le tour est joué.


    Le nombre reconstitué «préfixe:suffixe» 60492'61729 est le résultat de 7'7777^2 (D=7, m=5).


     



    1. Pour m=6 (nombre isodigite à six chiffres/digits)

    Pour m=5, 77'777^2=60492'61729. Le premier chiffre ('6') du suffixe '61729' de m=5 se duplique pour donner le nouveau suffixe '661729'.


    Le premier (?) des deux doublons '6' dans le nouveau suffixe se détache pour se lier en suffixe au préfixe '60492' de m=5 pour donner le nouveau préfixe '604926'. À ce niveau nous avons un total de 11 chiffres,


    - 6 chiffres en préfixe ('604926')


    - 5 chiffres en suffixe ('61729').


    Le deuxième doublon '6' qui est resté en préfixe au suffixe se dédouble à son tour et l'un des doublons s'insère lui aussi en suffixe au préfixe en cours '604926' pour donner le nouveau préfixe '6049266'.


    Il s'ajoute '110' à ce nouveau préfixe pour donner le nouveau préfixe '6049376'. Le dernier chiffre ('6') de ce dernier préfixe ('6049376') se détache alors pour se lier en préfixe au suffixe en cours '61729' pour donner le nouveau suffixe '661729'. À ce niveau nous avons un total de 12 chiffres,


    - 6 chiffres en préfixe ('604937')


    - 6 chiffres en suffixe ('661729').


    Il s'ajoute alors (en rejetant le report) 4 au premier digit du suffixe en cours (661729) pour donner le nouveau suffixe 061729, et le tour est joué.


    Le nombre reconstitué «préfixe:suffixe» 604937'061729 est le résultat de 77'7777^2 (D=7, m=6).


     



    1. Pour m=7 (nombre isodigite à sept chiffres/digits)

    Pour m=6, 777'777^2=604937'061729. Le premier chiffre ('0') du suffixe '061729' de m=6 se duplique pour donner le nouveau suffixe '0061729'.


    L'un des deux doublons '0' dans le nouveau suffixe se détache pour se lier en suffixe au préfixe '604937' de m=6 pour donner le nouveau préfixe '6049370'. À ce niveau nous avons un total de 13 chiffres,


    - 7 chiffres en préfixe ('6049370')


    - 6 chiffres en suffixe ('061729').


    Le deuxième doublon '0' qui est resté en préfixe au suffixe se dédouble et l'un des doublons s'insère lui aussi en suffixe au préfixe en cours '6049370' pour donner le nouveau préfixe '60493700'.


    Il s'ajoute '111' à ce nouveau préfixe pour donner le nouveau préfixe '60493811'. Le dernier chiffre ('0') de ce dernier préfixe ('60493811') se détache alors pour se lier en préfixe au suffixe en cours '061729' pour donner le nouveau suffixe '1061729' (le zéro est respecté comme tout autre chiffre)(1). À ce niveau nous avons un total de 14 chiffres,


    - 7 chiffres en préfixe ('6049381')


    - 7 chiffres en suffixe ('1061729').


    Il s'ajoute le chiffre 4 au premier digit (1) du suffixe pour donner le nouveau suffixe 5061729, et le tour est joué.


    Le nombre reconstitué «préfixe:suffixe» 6049381'5061729 est le résultat de 777'7777^2 (D=7, m=7).


     



    1. Pour m=8 (nombre isodigite à huit chiffres/digits)

    Pour m=7, 7'777'777^2=6049381'5061729. Le premier chiffre ('5') du suffixe '5061729' de m=7 se duplique pour donner le nouveau suffixe '55061729'.


    L'un des deux doublons '5' dans le nouveau suffixe se détache pour se lier en suffixe au préfixe '6049381' de m=7 pour donner le nouveau préfixe '60493815'. À ce niveau nous avons un total de 15 chiffres,


    - 8 chiffres en préfixe ('60493815')


    - 7 chiffres en suffixe ('5061729').


    Le deuxième doublon '5' qui est resté en préfixe au suffixe se dédouble et l'un des doublons s'insère lui aussi en suffixe au préfixe en cours '60493815' pour donner le nouveau préfixe '604938155'.


    Il s'ajoute '100' à ce nouveau préfixe pour donner le nouveau préfixe '604938255'. Le dernier chiffre ('5') de ce dernier préfixe ('604938255') se détache alors pour se lier en préfixe au suffixe en cours '5061729' pour donner le nouveau suffixe '55061729'. À ce niveau nous avons un total de 16 chiffres,


    - 8 chiffres en préfixe ('60493825')


    - 8 chiffres en suffixe ('55061729').


    Il s'ajoute alors au premier digit 5 du suffixe en cours 55061729 le fameux nombre 4 pour donner le nouveau suffixe 95061729.


    Le nombre reconstitué «préfixe:suffixe» 60493825'95061729 est le résultat de 7777'7777^2 (D=7, m=8).


     



    1. Pour m=9 (nombre isodigite à neuf chiffres/digits)

    Pour m=8, 77'777'777^2=60493825'95061729. Le premier chiffre ('9') du suffixe '95061729' de m=8 se duplique pour donner le nouveau suffixe '995061729'.


    L'un des deux doublons '9' dans le nouveau suffixe se détache pour se lier en suffixe au préfixe '60493825' de m=8 pour donner le nouveau préfixe '604938259'. À ce niveau nous avons un total de 17 chiffres,


    - 9 chiffres en préfixe ('604938259')


    - 8 chiffres en suffixe ('95061729').


    Le deuxième doublon '9' qui est resté en préfixe au suffixe se dédouble et l'un des doublons s'insère lui aussi en suffixe au préfixe en cours '604938259' pour donner le nouveau préfixe '6049382599'.


    Il s'ajoute (en respectant le report) '110' à ce nouveau préfixe 6049382599 pour donner le nouveau préfixe '6049382709'. Le dernier chiffre ('9') de ce dernier préfixe ('6049382709') se détache alors pour se lier en préfixe au suffixe en cours '95061729' pour donner le nouveau suffixe '995061729'. À ce niveau nous avons un total de 16 chiffres,


    - 9 chiffres en préfixe ('604938270')


    - 9 chiffres en suffixe ('995061729').


    Il s'ajoute alors (en rejetant le report) au premier digit 9 du suffixe en cours 995061729 le nombre 4 pour donner le nouveau suffixe 395061729.


    Le nombre reconstitué «préfixe:suffixe» 604938270'395061729 est le résultat de 7'7777'7777^2 (D=7, m=9).


     



    1. Pour m=10 (nombre isodigite à dix chiffres/digits)

    Pour m=9, 777'777'777^2=604938270'3995061729,  Le premier chiffre ('3') du suffixe '395061729' de m=9 se duplique pour donner le nouveau suffixe '3395061729'.


    L'un des deux doublons '3' dans le nouveau suffixe se détache pour se lier en suffixe au préfixe '604938270' de m=9 pour donner le nouveau préfixe '6049382703'. À ce niveau nous avons un total de 19 chiffres,


    - 10 chiffres en préfixe ('6049382703')


    - 9 chiffres en suffixe ('395061729').


    Le deuxième doublon '3' qui est resté en préfixe au suffixe se dédouble à son tour et l'un des nouveaux doublons s'insère lui aussi en suffixe au préfixe en cours '6049382703' pour donner le nouveau préfixe '60493827033'.


    Il s'ajoute ensuite  '111' à ce dernier préfixe 60493827033 pour donner le nouveau préfixe '60493827144'.


    Le dernier chiffre ('4') de ce dernier préfixe ('60493827144') se détache alors pour se lier en préfixe au suffixe en cours '395061729' pour donner le nouveau suffixe '4395061729'. À ce niveau nous avons un total de 20 chiffres,


    - 10 chiffres en préfixe ('6049382714')


    - 10 chiffres en suffixe ('4395061729').


    Il s'ajoute alors au premier digit 4 du suffixe en cours 4395061729 le nombre 4 pour donner le nouveau suffixe 8395061729.


    Le nombre reconstitué «préfixe:suffixe» 6049382714'8395061729 est le résultat de 77'7777'7777^2 (D=7, m=10). Le type long double de Borland C++ donne 60493827148395061700,000000.


    À partir de m=10, l'ordinateur est déjà essoufflé. Il n'arrive plus, même en calculs avec la plus grande précision disponible (type long double [80 bits ou 10 bytes] du langage C++ qui donne une précision de (plutôt une représentation sur) 18 [premiers] chiffres [significatifs] seulement ), à donner les derniers chiffres, qui sont remplacés par des zéros. Au moins, ces zéros -qui à priori paraissent inutiles- indiquent encore les positions (place holders) de chiffres. Le calcul direct dans l'ordinateur avec le type long double du langage C donne comme résultat : 60493827148395061700.000000 avec donc une erreur au dernier chiffre, tous les chiffres significatifs sont exacts. Bien entendu, Le Nouveau Format IEEE du Dr DIASOLUKA permet de surmonter cette faiblesse, mais c'est une autre affaire.


     



    1. Pour m=11 (nombre isodigite à onze chiffres/digits)

    Pour m=10, 7'777'777'777^2=6049382714'8395061729. Le premier chiffre ('8') du suffixe '8395061729' de m=10 se duplique pour donner le nouveau suffixe '88395061729'.


    L'un des deux doublons '8' dans le nouveau suffixe se détache pour se lier en suffixe au préfixe '6049382714' de m=10 pour donner le nouveau préfixe '60493827148'. À ce niveau nous avons un total de 21 chiffres,


    - 11 chiffres en préfixe ('60493827148')


    - 10 chiffres en suffixe ('8395061729').


    Le deuxième doublon '8' qui est resté en préfixe au suffixe se dédouble à son tour et l'un des nouveaux doublons s'insère lui aussi en suffixe au préfixe en cours '60493827148' pour donner le nouveau préfixe '604938271488'.


    Il s'ajoute ensuite '110' à ce dernier préfixe 604938271488 pour donner le nouveau préfixe '604938271598'.


    Le dernier chiffre ('8') de ce dernier préfixe ('604938271598') se détache alors pour se lier en préfixe au suffixe en cours '8395061729' pour donner le nouveau suffixe '88395061729'. À ce niveau nous avons un total de 22 chiffres,


    - 11 chiffres en préfixe ('60493827159')


    - 11 chiffres en suffixe ('88395061729').


    Il s'ajoute enfin (en rejetant le report) le nombre 4 au premier digit 8 du suffixe en cours 88395061729 pour donner 28395061729.


    Le nombre reconstitué «préfixe:suffixe» 60493827159'28395061729 est le résultat de 777'7777'7777^2 (D=7, m=11). Le type long double de Borland C++ donne 6049382715928395060000,000000, tous les18 [premiers] chiffres significatifs seulement sont exacts.


     



    1. Pour m=12 (nombre isodigite à douze chiffres/digits)

    Pour m=11, 77'777'777'777^2=60493827159'28395061729. Le premier chiffre ('2') du suffixe '28395061729' de m=11 se duplique pour donner le nouveau suffixe '228395061729'.


    L'un des deux doublons '2' dans le nouveau suffixe se détache pour se lier en suffixe au préfixe '60493827159' de m=11 pour donner le nouveau préfixe '604938271592'. À ce niveau nous avons un total de 23 chiffres,


    - 12 chiffres en préfixe ('604938271592')


    - 11 chiffres en suffixe ('28395061729').


    Le deuxième doublon '2' qui est resté en préfixe au suffixe se dédouble à son tour et l'un des nouveaux doublons s'insère lui aussi en suffixe au préfixe en cours '604938271592' pour donner le nouveau préfixe '6049382715922'.


    Il s'ajoute ensuite '111' à ce dernier préfixe pour donner le nouveau préfixe '6049382716033'.


    Le dernier chiffre ('3') de ce dernier préfixe ('6049382716033') se détache alors pour se lier en préfixe au suffixe en cours '28395061729' pour donner le nouveau suffixe '328395061729'. À ce niveau nous avons un total de 24 chiffres,


    - 12 chiffres en préfixe ('604938271603')


    - 12 chiffres en suffixe ('328395061729').


    il s'ajoute ensuite le nombre 4 au premier digit 3 du suffixe en cours 328395061729 pour donner 728395061729.


    Le nombre reconstitué «préfixe:suffixe» 604938271603'728395061729 est le résultat de 7777'7777'7777^2 (D=7, m=12). Le type long double de Borland C++ donne 604938271603728395000000,000000, tous les 18 [premiers] chiffres significatifs seulement sont exacts.


     



    1. Pour m=13 (nombre isodigite à treize chiffres/digits)

    Pour m=12, 7'777'777'777'777^2=604938271603'728395061729. Le premier chiffre ('7') du suffixe '728395061729' de m=12 se duplique pour donner le nouveau suffixe '7728395061729'.


    L'un des deux doublons '7' dans le nouveau suffixe se détache pour se lier en suffixe au préfixe '604938271603' de m=12 pour donner le nouveau préfixe '6049382716037'. À ce niveau nous avons un total de 25 chiffres,


    - 13 chiffres en préfixe ('6049382716037')


    - 12 chiffres en suffixe ('728395061729').


    Le deuxième doublon '7' qui est resté en préfixe au suffixe se dédouble à son tour et l'un des nouveaux doublons s'insère lui aussi en suffixe au préfixe en cours '6049382716037' pour donner le nouveau préfixe '60493827160377'.


    Il s'ajoute alors la valeur 110 au préfixe en cours 60493827160377 pour donner le nouveau préfixe 60493827160487. Le dernier chiffre ('7') de ce dernier préfixe ('60493827160487') se détache alors pour se lier en préfixe au suffixe en cours '728395061729' pour donner le nouveau suffixe '7728395061729'. À ce niveau nous avons un total de 26 chiffres,


    - 13 chiffres en préfixe ('6049382716048')


    - 13 chiffres en suffixe ('7728395061729').


    Il s'ajoute enfin (en rejetant le report éventuel) la valeur 4 au premier digit (1) du suffixe en cours 1728395061729 pour donner 1728395061729.


    Le nombre reconstitué «préfixe:suffixe» 6049382716048'1728395061729 est le résultat de 7'7777'7777'7777^2 (D=7, m=13). La preuve par neuf vérifie ce résultat confronté avec celui de l'ordinateur (60493827160481728400000000,000000 avec le type long double de Borland C++, seuls les 17 premiers chiffres sont exacts) et avec la logique des opérations.


     



    1. Pour m=14 (nombre isodigite à quatorze chiffres/digits)

    Pour m=13, 77'777'777'777'777^2=6049382716048'1728395061729. Le premier chiffre ('1') du suffixe '1728395061729' de m=13 se duplique pour donner le nouveau suffixe '11728395061729'.


    L'un des deux doublons '1' dans le nouveau suffixe se détache pour se lier en suffixe au préfixe '6049382716048' de m=13 pour donner le nouveau préfixe '60493827160481'. À ce niveau nous avons un total de 27 chiffres,


    - 14 chiffres en préfixe ('60493827160481')


    - 13 chiffres en suffixe ('1728395061729').


    Le deuxième doublon '1' qui est resté en préfixe au suffixe se dédouble à son tour et l'un des nouveaux doublons s'insère lui aussi en suffixe au préfixe en cours '60493827160481' pour donner le nouveau préfixe '604938271604811'.


    Il s'ajoute alors la valeur 111 au préfixe en cours 604938271604811 pour donner le nouveau préfixe 604938271604922. Le dernier chiffre ('2') de ce dernier préfixe ('604938271604922') se détache alors pour se lier en préfixe au suffixe en cours '1728395061729' pour donner le nouveau suffixe '21728395061729'. À ce niveau nous avons un total de 28 chiffres,


    - 14 chiffres en préfixe ('60493827160492')


    - 14 chiffres en suffixe ('21728395061729').


    Il s'ajoute enfin la valeur 4 au premier digit (2) du suffixe en cours 21728395061729 pour donner 61728395061729.


    Le nombre reconstitué «préfixe:suffixe» 60493827160492'61728395061729 est le résultat de 77'7777'7777'7777^2 (D=7, m=14). La preuve par neuf vérifie ce résultat confronté avec celui de l'ordinateur (6049382716049261720000000000,000000 avec le type long double de Borland C++, seuls les 18 [premiers] chiffres significatifs sont exacts) et avec la logique des opérations.


     



    1. Pour m=15 (nombre isodigite à quinze chiffres/digits)

    Pour m=14, 777'777'777'777'777^2=60493827160492'61728395061729. Le premier chiffre ('6') du suffixe '61728395061729' de m=14 se duplique pour donner le nouveau suffixe '611728395061729'.


    L'un des deux doublons '6' dans le nouveau suffixe se détache pour se lier en suffixe au préfixe '60493827160492' de m=14 pour donner le nouveau préfixe '604938271604926'. À ce niveau nous avons un total de 29 chiffres,


    - 15 chiffres en préfixe ('604938271604926')


    - 14 chiffres en suffixe ('61728395061729').


    Le deuxième doublon '6' qui est resté en préfixe au suffixe se dédouble à son tour et l'un des nouveaux doublons s'insère lui aussi en suffixe au préfixe en cours '604938271604926' pour donner le nouveau préfixe '6049382716049266'.


    Il s'ajoute alors la valeur 110 au préfixe en cours 6049382716049266 pour donner le nouveau préfixe 6049382716049376. Le dernier chiffre ('6') de ce dernier préfixe ('6049382716049376') se détache alors pour se lier en préfixe au suffixe en cours '61728395061729' pour donner le nouveau suffixe '661728395061729'. À ce niveau nous avons un total de 30 chiffres,


    - 15 chiffres en préfixe ('604938271604937')


    - 15 chiffres en suffixe ('661728395061729').


    Il s'ajoute enfin (en rejetant le report) la valeur 4 au premier digit (6) du suffixe en cours 661728395061729 pour donner <B


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